が与式の解となる。, ここでの "〜" は、同じ解を持つ連立方程式を表す行列であることを表す「同値関係」（これは専門用語なので余力があれば各自調べること）を表わす。, 基本変形による計算途中で、以下のように軸に取るべき要素がゼロになってしまう場合がある。, [\,A\ \bm b\,] = \begin{bmatrix}2&1&1&2\\4&2&3&1\\-2&-2&0&-1\end{bmatrix}, \sim \begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&0&1&-3\\0&-1&1&1\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_2+2\bm r_1\\\bm r_3+\bm r_1\\\end{array}, 次に (2, 2) を軸に掃出しをしたいが、(2, 2) がゼロなので掃出しができない。, \sim \begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&-1&1&1\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_3\\\bm r_2\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&1&-1&-1\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\-\bm r_2\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}2&0&2&3\\0&1&-1&-1\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1-\bm r_2\\\bm r_2\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}2&0&0&9\\0&1&0&-4\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1-2\bm r_3\\\bm r_2+\bm r_3\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}1&0&0&9/2\\0&1&0&-4\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1/2\\\bm r_2\\\bm r_3\\\end{array}, \therefore \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9/2\\-4\\-3\end{bmatrix}, たとえば、計算途中で次のようになった場合、２列目を掃き出せない 0&0&0 ← ２列目を掃き出す手順は というのも、「\({\rm rank}A \neq {\rm rank}[A \ \boldsymbol{b}]\)なら解なし」と言っていた先ほどの説明と異なり、 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 &-1 & -2 \\ x,y,z 、 z=a,\ w=b → 掃き出せた列は軸とした列に１があり、残りは０になっている, \sim \begin{bmatrix}1&0&3&-1&5\\0&1&-2&2&-4\end{bmatrix}. （この場合、2つの変数を設けて\(x=\lambda,y=6,z=\mu,w=-7-\lambda-\mu\)（\(\lambda\)と\(\mu\)は任意の数）」とすれば、解を網羅することができます）。, 変数の数に対して式の数が圧倒的に多い以下の式はどうでしょうか。 \bm x=A^{-1}\bm b 0000028580 00000 n
$$ 【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】 \end{eqnarray} 次の連立一次方程式が解を持つために、b1b2b3b4が満たすべき条件をもとめよ。また、そのときの解をb1b2b3b4で表せ。よろしくお願いします。条件式と解を、解の方をx_3=t_1、x_4=t_2として計算したら、条件式も解も一致しましたので、問題 0000021074 00000 n
の値に依らない！, これを利用して、次のように x+y &=& 6 &(1) \\ を確かめていないから、そこが問題。, A 0000043167 00000 n
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】 \left\{ 【線形代数６｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】 0000041783 00000 n
H��U�SS�>7� �ܐ� �7�K��&�VDԛ @� fW� ��w��#7���&j�ۖm��P'|�T-3MB��,3�;Nh;�`[P��t������p�y�s�{�3�y� `��q �?|�?�8 �*���@ '�1��vG�@. が変数 $${\rm rank}A = {\rm rank}[A \ \boldsymbol{o}]$$は絶対に成り立ちます。, っていうか、このような方程式は、変数が全部0のときに必ず成立するので、少なくとも 0000021731 00000 n
0000017894 00000 n
$$, このような連立方程式を拡大係数行列で表すと、一番右の列が全て0になるので、 0000018344 00000 n
0000018242 00000 n
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】 \Big[\ A\ \ \bm e_1\ \Big] å½¢ç¬ç« $\Longleftrightarrow$ èªæãªè§£ã®ã¿ãã®è¨¼æ, ãèªæãªè§£ä»¥å¤ã®ãæ㤠$\Longleftrightarrow$ ä¿æ°è¡åã®è¡åå¼ = 0 ãã®è¨¼æ, ã¯ã©ã¡ã«ã®å
¬å¼ã®è¨¼æã¨ä½¿ç¨ä¾. \begin{array}{ccc} 【線形代数10｜「固有値」と「固有ベクトル」の性質のまとめ(準備中)】, 【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】 0000018650 00000 n
\left( 0000017695 00000 n
$$係数行列の階数と、拡大階数行列の階数が同じ（階数2）なので、解を持つことになります。 【線形代数９｜「固有値」と「固有ベクトル」は対角化のカギ！】 \right. a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\ 0000041862 00000 n
「必ず解ける解法」を知りたい. 0000034650 00000 n
中学校以来よく扱ってきた連立1次方程式は線形代数学と密接に関わっており，実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立1次方程式は非常に重要です．この記事では連立1次方程式が[解をもつ条件]と[解の自由度]を考えます． を求める事もできる。, A\bm x_1=\bm e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\ \ A\bm x_2=\bm e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\ \ \dots,\ \ A\bm x_n=\bm e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}, となるような 個の連立方程式の解を並べて書けば、それが逆行列である！（かもしれない）, 逆行列の定義は 0000036500 00000 n
\right. 0000023766 00000 n
2x+y &=& 5 &(3) \\ 0000043065 00000 n
0000039024 00000 n
0000041393 00000 n
0000042531 00000 n
が使われる事が多い。, A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix} \left\{ \begin{array}{l}x=-2a-1\\y=a\\z=1\end{array} \right . → (2, 2) 要素がゼロだし、それより下にも要素がない, \begin{bmatrix}1&2&-2&-3\\0&0&2&2\\0&0&3&3\end{bmatrix}, \sim \begin{bmatrix}1&2&-2&-3\\0&0&1&1\\0&0&3&3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_2/2\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}1&2&0&-1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1+2\bm r_2\\\bm r_2\\\bm r_3-3\bm r_2\\\end{array}.